ある数が11で割り切れるか

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 奇数桁の数の和と偶数桁の差の合計を11で割ります。この計算の余りが11で割った余りです。余りが0なら11で割り切れます。

・ある数が121の場合の例
各桁の数の合計 1-2+1=0 合計を11で割ると0÷11=0 余りは0 従って121は11で割り切れます。
・ある数が572の場合の例
各桁の数の合計 2-7+5=0 合計を11で割ると0÷11=0 余りは0 従って572は11で割り切れます。

別の方法
調べる数が3桁の場合

2桁目の数が1桁目と3桁目の和に等しい場合は11で割り切れます。なぜならその数はある2桁の数に11を掛けた数だから。

aを3桁の正整数として
a=a2 ×102+a1×10+a0 と表現します。
a1=a2+a0 の場合は11で割り切れます。

証明

ある数a をm+1桁の整数とする。

a =am×10m+・・・+a2 ×102+a1×10+a0 とする。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数

明らかに10 ≡ -1 (mod 11) だから任意の正の整数n について
102n ≡ (-1)2n ≡ 1 (mod 11), 102n+1 ≡ (-1)2n+1 ≡ -1 (mod 11)
これをaの式に適用すると
a =am×(-1)m +-・・・-+ a2 - a1 + a0 ≡ S (mod 11)
つまり
11|a - S なので余りS=0のとき 11|a となりaは11で割り切れる。

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ピタゴラスの定理について1

x2+y2=z2 の式でx,y,zが整数のピタゴラス数になっている場合のx,yの奇数、偶数について考えてみます。
この式でxとyは奇数と偶数の組み合わせでzは奇数になっています。
xとyの組み合わせについて証明したいと思います。

1.奇数+奇数と仮定した場合
xとyをそれぞれ
(2n+1),(2m+1)とおくと(n,mは自然数)
(2n+1)2 + (2m+1)2 ≡ 1(mod 4) + 1(mod 4) ≡ 2(mod 4) ≢1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従って
xとyが奇数であることは矛盾する。

2.偶数+偶数と仮定した場合
xとyをそれぞれ2m,2mとおくと
(2m)2 + (2m)2   = z2
4m2 + 4m2 = z2
8m2 = z2
z = ±2√2
zは有理解を持たない。奇数のzが偶数である。
従ってxとyが偶数であることは矛盾する。

または

xとyをそれぞれ2n,2mとおくと
(2n)2 + (2m)≡ 0(mod 4) + 0(mod 4) ≡ 0(mod 4) ≢1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従ってxとyが偶数であることは矛盾する。

3.
奇数+偶数と仮定した場合
xとyをそれぞれ(2n+1),(2m)とおくと
(2n+1)2 + (2m)= 4n2 + 4n + 1 + 4m= {4(n2 +n) + 1+ 4m
 =
1(mod 4) + 0
(mod 4) ≡ 1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従ってxとyは奇数と偶数の組み合わせであることは矛盾しない。

ある整数を9で割るときの余りを暗算で知る方法

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 各桁の数の和を9で割ります。この計算の余りがその数の余りです。余りが0なら9で割り切れます。

・ある数が18の場合の例
各桁の数の和 1+8=9 和を9で割ると9÷9=1 余りは0 従って18は9で割り切れます。

証明

ある数をm+1桁の整数nとする。

n=am×10m+・・・a2 ×102+a1×10+a0 とする。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数
変形して
n=a0+a1×(10-1)+a1+a2×(102-1)+a2+……+am×(10m-1)+am
n={a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}+(a0+a1+a2+…+am)
10-1≡102-1≡10m-1≡ 0 (mod 9)  である。
従って{a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}≡ 0 (mod 9) 
よってnを9で割った余りは(a0+a1+a2+…+am)を9で割った余り。
であるので
各桁の和(a0+a1+a2+…+am)が9で割り切れるならnは9で割り切れる。

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ある数を3で割るときの余りは?

ある整数を3で割るときの余りをもとめる方法

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 各桁の数の和を3で割ります。この計算の余りがその数の余りです。余りが0なら3で割り切れますね。

12の場合の例
各桁の数の和 1+2=3 和を3で割ると3÷3=1 余りは0。 従って12は3で割り切れます。
また12は2でも4でも6でも割り切れる大変便利な数です。
 
証明

ある数をm+1桁の整数nとする。

n=am×10m+・・・a2 ×102+a1×10+a0 と表現する。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数
変形して
n=a0+a1×(10-1)+a1+a2×(102-1)+a2+……+am×(10m-1)+am
n={a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}+(a0+a1+a2+…+am)
10-1≡102-110m-1≡ 0 (mod 3)  である。
(102-10 (mod 3)はフェルマーの小定理が適用できますね。
103-11 (mod 3)でフェルマーの小定理。)
従って{a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}≡ 0 (mod 3) 
よってnを3で割った余りは(a0+a1+a2+…+am)を3で割った余り。
であるので
各桁の和(a0+a1+a2+…+am)が3で割り切れるならnは3で割り切れる。






タイヤ交換

ホイールにリムテープを取り付ける。
この時リムテープの穴ををバルブの穴を合わせて、チューブのバルブをホイールに取り付けてバルブのネジを軽く締めて固定する。
バルブの部分から、リムテープを全周に回して取り付ける。これでリムテープの穴とホイールの穴のずれがなくなる。

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