ピタゴラスの定理について1

x2+y2=z2 の式でx,y,zが整数のピタゴラス数になっている場合のx,yの奇数、偶数について考えてみます。
この式でxとyは奇数と偶数の組み合わせでzは奇数になっています。
xとyの組み合わせについて証明したいと思います。

1.奇数+奇数と仮定した場合
xとyをそれぞれ
(2n+1),(2m+1)とおくと(n,mは自然数)
(2n+1)2 + (2m+1)2 ≡ 1(mod 4) + 1(mod 4) ≡ 2(mod 4) ≢1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従って
xとyが奇数であることは矛盾する。

2.偶数+偶数と仮定した場合
xとyをそれぞれ2m,2mとおくと
(2m)2 + (2m)2   = z2
4m2 + 4m2 = z2
8m2 = z2
z = ±2√2
zは有理解を持たない。奇数のzが偶数である。
従ってxとyが偶数であることは矛盾する。

または

xとyをそれぞれ2n,2mとおくと
(2n)2 + (2m)≡ 0(mod 4) + 0(mod 4) ≡ 0(mod 4) ≢1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従ってxとyが偶数であることは矛盾する。

3.
奇数+偶数と仮定した場合
xとyをそれぞれ(2n+1),(2m)とおくと
(2n+1)2 + (2m)= 4n2 + 4n + 1 + 4m= {4(n2 +n) + 1+ 4m
 =
1(mod 4) + 0
(mod 4) ≡ 1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従ってxとyは奇数と偶数の組み合わせであることは矛盾しない。
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ある整数を9で割るときの余りを暗算で知る方法

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 各桁の数の和を9で割ります。この計算の余りがその数の余りです。余りが0なら9で割り切れます。

・ある数が18の場合の例
各桁の数の和 1+8=9 和を9で割ると9÷9=1 余りは0 従って18は9で割り切れます。

証明

ある数をm+1桁の整数nとする。

n=am×10m+・・・a2 ×102+a1×10+a0 とする。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数
変形して
n=a0+a1×(10-1)+a1+a2×(102-1)+a2+……+am×(10m-1)+am
n={a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}+(a0+a1+a2+…+am)
10-1≡102-1≡10m-1≡ 0 (mod 9)  である。
従って{a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}≡ 0 (mod 9) 
よってnを9で割った余りは(a0+a1+a2+…+am)を9で割った余り。
であるので
各桁の和(a0+a1+a2+…+am)が9で割り切れるならnは9で割り切れる。

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ある数を3で割るときの余りは?

ある整数を3で割るときの余りをもとめる方法

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 各桁の数の和を3で割ります。この計算の余りがその数の余りです。余りが0なら3で割り切れますね。

12の場合の例
各桁の数の和 1+2=3 和を3で割ると3÷3=1 余りは0。 従って12は3で割り切れます。
また12は2でも4でも6でも割り切れる大変便利な数です。
 
証明

ある数をm+1桁の整数nとする。

n=am×10m+・・・a2 ×102+a1×10+a0 と表現する。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数
変形して
n=a0+a1×(10-1)+a1+a2×(102-1)+a2+……+am×(10m-1)+am
n={a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}+(a0+a1+a2+…+am)
10-1≡102-110m-1≡ 0 (mod 3)  である。
(102-10 (mod 3)はフェルマーの小定理が適用できますね。
103-11 (mod 3)でフェルマーの小定理。)
従って{a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}≡ 0 (mod 3) 
よってnを3で割った余りは(a0+a1+a2+…+am)を3で割った余り。
であるので
各桁の和(a0+a1+a2+…+am)が3で割り切れるならnは3で割り切れる。






タイヤ交換

ホイールにリムテープを取り付ける。
この時リムテープの穴ををバルブの穴を合わせて、チューブのバルブをホイールに取り付けてバルブのネジを軽く締めて固定する。
バルブの部分から、リムテープを全周に回して取り付ける。これでリムテープの穴とホイールの穴のずれがなくなる。

イカのアニサキス発見

北海道産のスルメイカをさばいて冷凍しておいた。1週間ほどして解凍して切ってみるとまな板にいました。エンペラの部分を切っていて見つけました。
特に動きませんがアニサキスだと思います。

DSCN5876.jpg

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