ある数を3で割るときの余りは?

ある整数を3で割るときの余りをもとめる方法

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 各桁の数の和を3で割ります。この計算の余りがその数の余りです。余りが0なら3で割り切れますね。

12の場合の例
各桁の数の和 1+2=3 和を3で割ると3÷3=1 余りは0。 従って12は3で割り切れます。
また12は2でも4でも6でも割り切れる大変便利な数です。
 
証明

ある数をm+1桁の整数nとする。

n=am×10m+・・・a2 ×102+a1×10+a0 と表現する。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数
変形して
n=a0+a1×(10-1)+a1+a2×(102-1)+a2+……+am×(10m-1)+am
n={a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}+(a0+a1+a2+…+am)
10-1≡102-110m-1≡ 0 (mod 3)  である。
(102-10 (mod 3)はフェルマーの小定理が適用できますね。
103-11 (mod 3)でフェルマーの小定理。)
従って{a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}≡ 0 (mod 3) 
よってnを3で割った余りは(a0+a1+a2+…+am)を3で割った余り。
であるので
各桁の和(a0+a1+a2+…+am)が3で割り切れるならnは3で割り切れる。






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