1+1=2とは

1+1=2 ですね。
の証明を考えてみました。
1 =  20 とします。

1+1
= 20 + 20
= 2 ×  20
= 21+0
= 21
= 2

ですね。


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2桁の数の積暗算

79×81=(80-1)(80+1)
=6400-1
=6399

(A+n)(Aーn)=A2-
でA、nが暗算しやすい形になっていることが条件です。

表にしてみると反転している所が暗算向きの所です。

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
  A(A+1)102+102/4
  A2-n2
  (A+n)(A-n)+n
  A×11

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×11の暗算

2桁のある数ABに対して11を掛ける計算は
AB×11=A×100 + (A+B)×10 + B = A(A+B)B

11の積はAとBの間に(A+B)が入る。


20×11=×100 + (2+0)×10 +  = 220 これは方法を考えるまでもない。
11×11=×100 + (1+1)×10 +  = 121

2乗の暗算

例えば81の2乗を例にします。
81=(81+1)(81-1)+1
(81=81-12+1
=82×80+1
=6560+1
=6561

A=(A+n)(A-n)+n
=(A-n)+nとなります。
この時(A+n)もしくは(A-n)の1の位が0になっていると暗算しやすいです。



85=(85+5)(85-5)+5
(=(85-5)+5
=90×80+25
=7200+25
=7225

2桁の数で1の位が5の数は別の方法もありますね。
85=8(8+1)×100+25
=7200+25
=7225





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1桁目が5の数の二乗の暗算

2桁目の数をAと置きます。1桁目が5です。A5の2乗は3桁目以上がA(A+1)、1桁目2桁目が25となります。
例えば35の2乗は3(3+1)と25で1225となります。

証明
数A5を(AX+X/2)と変形します。X=10とします。
2乗を求めるので(AX+X/2)2 を計算します。
=A2X2+AX2/2+AX2/2+X2/4
=A2X2+AX2+X2/4
=(A2+A)X2+X2/4
=A(A+1)X2+X2/4

X2=100、X2/4=25 なので
ある数数A5の2乗は3桁目以上がA(A+1)、下2桁が25となる。

応用例
88×82
=(85+3)(85-3)
=85-3
=7225-9
=7216

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