ある整数を9で割るときの余りを暗算で知る方法

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 各桁の数の和を9で割ります。この計算の余りがその数の余りです。余りが0なら9で割り切れます。

・ある数が18の場合の例
各桁の数の和 1+8=9 和を9で割ると9÷9=1 余りは0 従って18は9で割り切れます。

証明

ある数をm+1桁の整数nとする。

n=am×10m+・・・a2 ×102+a1×10+a0 とする。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数
変形して
n=a0+a1×(10-1)+a1+a2×(102-1)+a2+……+am×(10m-1)+am
n={a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}+(a0+a1+a2+…+am)
10-1≡102-1≡10m-1≡ 0 (mod 9)  である。
従って{a1×(10-1)+a2×(102-1)+……+am×(10m-1)}≡ 0 (mod 9) 
よってnを9で割った余りは(a0+a1+a2+…+am)を9で割った余り。
であるので
各桁の和(a0+a1+a2+…+am)が9で割り切れるならnは9で割り切れる。

別の証明

ある数aを以下のように表現する。
a =am×10m+・・・+a2 ×102+a1×10+a0
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数、mは整数。

明らかに10 ≡ 1 (mod 9) だから任意の正の整数m について 10m ≡ 1m ≡ 1 (mod 9)
これをaの式に代入すると
a =am×1+・・・+a2 ×1+a1×1+a0 ≡ S (mod 9)
つまり
9|a - S なので余りS=0のとき 9|a なので aは9で割り切れる。
同様に
3|a - S なので余りS=0のとき 3|aなので aは3で割り切れる。

・ある数が576の場合の例
各桁の数の和 5+7+6(=18)が9で割り切れるか? は1+8(=9)が9で割り切れるか?という問題になる。
5+7+6=18 ≡ 9 ≡ 0 (mod 9)  従って576は9で割り切れる。
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