ピタゴラスの定理について1

x2+y2=z2 の式でx,y,zが整数のピタゴラス数になっている場合のx,yの奇数、偶数について考えてみます。
この式でxとyは奇数と偶数の組み合わせでzは奇数になっています。
xとyの組み合わせについて証明したいと思います。

1.奇数+奇数と仮定した場合
xとyをそれぞれ
(2n+1),(2m+1)とおくと(n,mは自然数)
(2n+1)2 + (2m+1)2 ≡ 1(mod 4) + 1(mod 4) ≡ 2(mod 4) ≢1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従って
xとyが奇数であることは矛盾する。

2.偶数+偶数と仮定した場合
xとyをそれぞれ2m,2mとおくと
(2m)2 + (2m)2   = z2
4m2 + 4m2 = z2
8m2 = z2
z = ±2√2
zは有理解を持たない。奇数のzが偶数である。
従ってxとyが偶数であることは矛盾する。

または

xとyをそれぞれ2n,2mとおくと
(2n)2 + (2m)≡ 0(mod 4) + 0(mod 4) ≡ 0(mod 4) ≢1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従ってxとyが偶数であることは矛盾する。

3.
奇数+偶数と仮定した場合
xとyをそれぞれ(2n+1),(2m)とおくと
(2n+1)2 + (2m)= 4n2 + 4n + 1 + 4m= {4(n2 +n) + 1+ 4m
 =
1(mod 4) + 0
(mod 4) ≡ 1(mod 4) (zは奇数なのでz2≡ 1(mod 4)
従ってxとyは奇数と偶数の組み合わせであることは矛盾しない。
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