ある数が11で割り切れるか

2桁程度ならすぐ分かりますが3、4桁の整数などへ桁数が増えると段々大変になる場合が増えます。
その方法とは 奇数桁の数の和と偶数桁の差の合計を11で割ります。この計算の余りが11で割った余りです。余りが0なら11で割り切れます。

・ある数が121の場合の例
各桁の数の合計 1-2+1=0 合計を11で割ると0÷11=0 余りは0 従って121は11で割り切れます。
・ある数が572の場合の例
各桁の数の合計 2-7+5=0 合計を11で割ると0÷11=0 余りは0 従って572は11で割り切れます。

別の方法
調べる数が3桁の場合

2桁目の数が1桁目と3桁目の和に等しい場合は11で割り切れます。なぜならその数はある2桁の数に11を掛けた数だから。

aを3桁の正整数として
a=a2 ×102+a1×10+a0 と表現します。
a1=a2+a0 の場合は11で割り切れます。

証明

ある数a をm+1桁の整数とする。

a =am×10m+・・・+a2 ×102+a1×10+a0 とする。
am、・・・、a2、a1、a0は1桁の正の整数

明らかに10 ≡ -1 (mod 11) だから任意の正の整数n について
102n ≡ (-1)2n ≡ 1 (mod 11), 102n+1 ≡ (-1)2n+1 ≡ -1 (mod 11)
これをaの式に適用すると
a =am×(-1)m +-・・・-+ a2 - a1 + a0 ≡ S (mod 11)
つまり
11|a - S なので余りS=0のとき 11|a となりaは11で割り切れる。


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